用向量运算结果，证明一些几何定理，较综合法证明要简明一些。
向量的定义，不一定需要几何关系。因此，由向量运算获得的真命题，就可不用几何概念来陈述。当不用几何概念来陈述时，向量关系就不必解释为几何关系了。
当两个向量a,b存在关系，αa +βb=0 . α, β是两个不同时为0的实数。则称向量a,b 线性相关，α，β称为线性系数。这个线性相关的概念，与几何概念没有任何关系。也不排除两个向量中有0向时，可能两个向量都为0向量。也就是说，两个向量线性相关包含了两个向量相等这个特例。
当两个向量线性相关时，线性系数中至少有一个非0，就可对等式两端同除以这个系数。等式变形为，a=ωb。这种形式的等式，就称为：一个向量线性表示另一个向量。
当用有向线段表示一个向量时，有向线段存在位置的差异。自由向量没有这个限制。因此，自由向量与有向线段间不是一一对应，而是一个向量对应着多个有向线段。就当两有向线段通过平移之后可以完全重合，则这两个有向线段表示同一个向量。
有向线段存在平行与共直线的差异。对应的向量都是线性相关。
定理：两个向量线性相关时，表示两向量的有向线段平行或共直线。
在几何上，平行与共直线是矛盾的两个概念，不可能同时成立。不可能说平向或共直线通称共直线。因此不能定义两个自由向量平行的概念。由平行与共直线只可成立一个关系。因此，两条有向线段画出几何图形之后。就只能是其中一种关系。对于画出图形的几何关系，当表示图形上的有向线段对应的向量线性相关时，就可明确得出是平行还是共直线了。这是通过几何图形得出，没有几何图形时，表示线性相关的两个非真零向量的有向线段只能是平行或共直线，虽然只能是其一，但是确不了是那一种结果。
对于滑动向量，表示向量的有向线段，平行时，两滑动向量并不线性相关。可以定义平行的滑动向量，但是，平行的滑动向量不可能与共线的滑动向量线性相关，更不能相等。也就是说，当向量存在平行与共线的差别时。还是不能说平行向量与共线向量通称为共线向量。
线性相关的对立概念，是线性无关。
多于二个向量的多个向量的线性相关与线性无关。没n个向量，a1 a2 ……an .如果，存在n个不全为0的这实数α1 α2, …….αn。使
α1a1+ α2a2 +……+αnan=0 则称这n个向量线性相关。否则，称为线性无关。
一个向量集合，如果，集合中存在n个线性无关向量，而且，n+1个向量一定性相关，则称这个向量集合为一个n维向量空间。
对于一个二维向量空间，其中的向量可用二维平面上的有向线段表示。是一个向量对应多个有向线段。可平移重合的条有向线段表示同一个向量。
对于一个三维向量空间，其中的向量可用经验空间内的有向线段表示。是一个向量对应多个有向线段。可平移重合的条有向线段表示同一个向量。
定义两个向量的内积之后，两个非0向量的内积可为0。
设向量α1 α2,α3全非0。
α1，α2 线性相关。α1，α3线性相关。
则α1=α a 2 a 1=βa 3 .∴ α a 2 =βa 3
∴ a 2 , a 3 线性相关，且现向量空间的维数无关。
从几何上就可说。两条直线分别与第三条直线平行或共直线。则这两条直线平行或重合。不重合时就是平行直线。
这个结论与空间的维数无关。一维空间总是共直线。多于一维的空间，不重合就平行。
在三维空间内，用综合法证明三线平行定理时，是较困难的。用向量证明就简明了。
定义内积之后。两个非0向量，a •b=0时，表示这两向量的有向线段垂直。因此，两向量线性无关。
α1 •α2,=0且α1•α3=0。 这三向量表示的有向线段有什到关系？有何几何定理？
一，当三个向量在同一平面上时，三个向量一定线性相关。由于前两个向量线性无关，后两个向量也线性无关，要三线性相关，只能是两个向量a3与a2线性样关。表示这两个向量的有向线段平行或共直线。几何定理，在同一平面内，两条不重合的直线同时垂直第三条直线时，这两条直线平行。这三条直线必须同在一个平面内。只有两条在同一个平面内时，这两条垂线不一定平行。
二，当三个向量不在同一平面时。三个向量不一定线性相关。当任何两条都不线性相关时，则a2,a3可线性表示出它两所在的平面内的任何一个向量，a=pa2+qa3
a •a1=pa2 •a1+qa3 •a1=0
向量a1垂直a .
几何定理，一条直线垂直一个平面内的两条交线，这条直线就垂直个平面内的任何一条直线。这样的直线称为平面的垂线。
这个定理用综合法证明，是较为困难的。用向量证明就简明了。